Forward og invers Q-filtrering av seismiske pulser.

 

 

 

 

 


Vi kan gå dypere inn i invers Q-filtrering for ulike seismiske pulser ved å betrakte en puls om gangen og velge ulike verdier for Q og ankomsttid t. Da kan det være nyttig å betrakte et Q-filters koeffisienter som løsningen av bølgeligningen slik den er utledet i Sørsdal (2008).

 

Ved å bruke fasefunksjonen ϕ (t,iw) fra (1,3), sette A=1 og velge B=1/Q, får vi filterkoeffisienter som tilsvarer en dempet enhetspuls. Ved direkte å bruke formelen vil vi få en symmetrisk dempet enhetspuls. Som vi ser her på Fig.1. under til venstre får vi formendring av enhetspulsen i vårt tilfelle. Det er fordi vi har benyttet en relasjon mellom spekteret av attenuasjonsleddet og fasen som tilsvarer Hilbert-transformasjonen. Dette gir oss en dempingsmodell som er i minimum fase.

 

 

Fig.1. Filterkoeffisienter som tilsvarer en dempet enhetspuls til venstre. Filterkoeffisienter for tilsvarende invers Q-filter til høyre.

 


Når vi har gitt et amplityde spekter for filteret, kan vi erstatte små verdier i spekteret (amp) med en brøkdel av maksimumamplityden. Når vi så invers filtrerer for å få filteret er vi garantert at filteret er i minimum fase. Vi har tatt med matlab-koden for prosedyren.

 

minamp=0.005*max(amp);

amp(amp < minamp)=minamp;

temp=fft(log(amp));

namp=length(amp);

namph=fix(namp/2);

temp=real(temp(2:nsamp)).*(1:nsamp-1)'/namph;

wav=ones(nsamp,1);

wav(2)=temp(1);

for ii=2:nsamp-1

wav(ii+1)=sum(wav(ii:-1:1).*temp(1:ii))/ii;

end

Her representerer wav en minimumfase puls.

 

 

 

Dempingen av en puls som er annerledes enn en enhetspuls får vi ved å konvolvere filterkoeffisientene med en seismisk puls. På figur.2 har vi brukt en nullfasepuls med ankomst 4 sekunder og Q=130. Udempet puls til venstre dempes kraftig ut på grafen til høyre for den udempede pulsen, og den går inn i minimumfase. Inverse Q-filtrering av den dempede pulsen er utført på grafen helt til høyre.

 

 

Fig.2. Med Q=130 vil en nullfasepuls (til venstre) dempes kraftig etter 4 sekunder. (nr.2 fra

venstre). Samme puls (svart) i høyre figur. Restaureres med inverse Q-filtrerimg der vi bruker filteret på fig.1.

 


Minimum fase

 

Skal vår seismiske metode inkludere demping slik det skjer i naturen må både filteret og signaturen være i minimum fase. I filteret kan minimum fase inkluderes på ulike måter, og i forrige avsnitt benyttet vi en metode der vi bearbeider filterets amplityde-spekter. Graden av demping bestemmer hvor mye faseendring som skjer. Vi kan benytte denne metoden fortsatt.

 

Nå vil vi bruke en minimumfase puls som signatur og dermed få en helt korrekt dempingsteori. Øverst på figur 3 til venstre ser vi en minimumfase puls udempet. Like til høyre for denne er denne dempet ut etter 4 sekunder. Graf øverst til høyre viser pulsen dempet ut etter 4 sekunder (svart), og etter at den er inverst Q-filtrert.

 

Figur 3 nederst til venstre viser samme minimum fase puls dempet etter 1 sekund. Vi ser at effekten av demping er betydelig mindre enn på figuren over. Anvendelsen av det inverse filteret er gått svært bra på figuren nederst til høyre og vi har fått tilbake den opprinnelige pulsen.

 

 

 

Fig.3.Øverst minimum fase puls med Q-filtrert etter 4 sekunder. (til venstre) inverst Q-filtrert til høyre.

Nederst minimum fase puls med Q-filtrert etter 1 sekund. (til venstre) inverst Q-filtrert til høyre

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Invers filtrering med Wiener-filter

 

Et Wienerfilter virker som et invers Q-filter. Figur 4 gir filterkoeffisientene som må benyttes for å invers filtrere en nullfase puls. Filteret vil også benytte en 90 graders faserotasjon som er identisk med Hilbert tranformasjonen, og som vil føre den pulsen den anvendes på tilbake til den opprinnelige formen. Som input bruker vi en Rickerpuls med senterfrekvens 20 Hz dempet etter 1 iterasjon med Riccatiligningen. A=0,96 og Q=88. Da får vi som på figur.4. der grønn puls er udempet og rød dempet.

 

 

 

Til venstre sert vi den invers Q-filtrerte pulsen. Til høyre ser vi et forsøk på å bruke Wienerfilter.

 

 

 

Figur 4 viser en nullfasepuls som skyves mot venstre gjennom en 90 graders rotasjon.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Over Q=-88 Under Q=-130 Under til høyre Q=-44




 

 

 

moncler outlet usa Moncler outlet hermes outlet prada outlet gucci outlet dior outlet lv outlet chloe outlet
moncler outlet usa Moncler outlet hermes outlet prada outlet gucci outlet dior outlet lv outlet chloe outlet